Geometría Diferencial

En matemáticas, la geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático y del álgebra multilineal. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables (al igual que en la topología diferencial) así como nociones de geometría de Riemann, por ejemplo las de conexión y curvatura (que no se estudian en la topología diferencial).

Las aplicaciones modernas de la geometría diferencial están muy relacionadas con la física, especialmente en el estudio de la Teoría de la Relatividad.

Este es un buen momento para retomar la idea de la geometría diferencial (término usado así por primera vez por Luigi Bianchi, 1856 - 1928, en 1894), pues se trata de un marco teórico más general en el cual se integran las geometrías no euclidianas y más que eso: todas las geometrías. La geometría ya no trata de puntos o rectas del espacio, sino de lo que se llama variedades. El punto de partida puede decirse que era el trabajo realizado por Gauss en la construcción de mapas y la llamada geodesia, que apoyaría un nuevo enfoque sobre la naturaleza del espacio. Es decir:

"El problema de construir mapas planos de la superficie de la tierra fue uno de los que dio origen a la geometría diferencial, que se puede describir a grandes rasgos como la investigación de las propiedades de curvas y superficies en el entorno de un punto.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 365]

La geometría diferencial trata de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro, y son sujetas a variaciones (de punto en punto) donde tiene sentido la utilización de las técnicas del Cálculo. Gauss, en su Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas(Investigaciones generales sobre superficies curvas) ofreció la nueva idea que usaría Riemann: una superficie se podía ver como un espacio en sí mismo.

Puede resultar interesante hacer aquí una digresión casi filosófica sobre la naturaleza de la geometría. Para Riemann, al igual que para Gauss, la geometría debía asociarse con la mecánica; por eso, buscó demostrar que los axiomas específicos de Euclides eran empíricos y no autoevidentes y necesarios en sí mismos sin tomar en cuenta la acción de la experiencia. Su estrategia fue buscar qué era lo realmente a priori en la geometría del espacio y estudiar sus consecuencias. Las otras propiedades del espacio no eran a priori. Con ello podría concluir que serían de naturaleza empírica. Es decir, buscar lo realmente necesario y autoevidente y, luego, hacer ver que lo que quedaba fuera tenía que ser empírico.

Recuperado de: 

http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap21/Parte03_21.htm:  y  https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial