Teoría de Números en los Siglos XVII

Un documento descubierto en 1879 entre los manuscritos de Huygens da un famoso método, llamado el método del "descenso infinito", que fue introducido y usado por Fermat. Para comprender el método vamos a considerar el teorema enviado por Fermat en una carta a Martín Mersenne (1588-1648) fechada el 25 de diciembre de 1640, en el que enuncia que un primo de la forma 4n+1 puede expresarse de una y sólo una manera como la suma de dos cuadrados. Así 17 = 16+1 y 29 = 25+4. El método llamado de "descenso infinito" procede demostrando que si hay un primo de la forma 4n+1 que no posee dicha propiedad, entonces habrá un primo menor de la forma 4n+1 que no la posea.
Luego, puesto que n es arbitrario, debe haber uno aún menor. Descendiendo a través de todos los valores positivos de n uno debe alcanzar n=1 y así el primo 4 1+1 = 5. Entonces 5 no puede cumplir la propiedad requerida. Pero puesto que 5 se puede expresar como la suma de dos cuadrados y sólo de una manera, así todo primo es de la forma 4n+1. Fermat envío este esquema de su método a su amigo Pierre de Carcavi en 1659. Fermat dice que usó el método para probar el teorema anterior pero su demostración no se encontró nunca. También dice que demostró otros teoremas por este método.
Dado que ningún entero de la forma 4n-1 puede ser suma de dos cuadrados, y todos los primos excepto 2 son de la forma 4n+1 o 4n-1, se pueden clasificar por el teorema de Fermat los números primos que se pueden expresar y los que no se pueden expresar como suma de dos cuadrados. El número primo 23, por ejemplo, no puede expresarse de dicha forma, mientras que el 29 sí puede expresarse como 2+5. Fermat sabía también que un número primo de cualquiera de los dos tipos se puede expresar siempre como diferencia de dos cuadrados de una y sólo una manera.
El método del "descenso infinito" difiere de la inducción matemática. En primer lugar, el método no requiere que se muestre un caso en el que se cumple el teorema propuesto, porque se puede concluir el argumento por el hecho de que sólo el caso n=1 lleva a una contradicción de algún otro hecho conocido. Además, después de hacer una hipótesis apropiada para un valor de n, el método demuestra que hay  un menor valor de n, pero no necesariamente el siguiente, para el cual la hipótesis es cierta. Finalmente el método refuta ciertas afirmaciones y es de hecho más útil para este propósito.

Example 1.6   Ilustremos este método aplicándolo a la demostración de que  no es racional: Supongamos que , donde  y  son enteros positivos, tales que . Como , aislemos  del numerador y reemplacemos el otro por . Se tiene .

Es evidente que  y  son enteros positivos en virtud de la desigualdad .
Sean  y  cada uno, respectivamente, inferior a  y , y tales que . Por iteración, se obtiene un "descenso infinito" en el cual  y  son enteros todavía más pequeños tales que , esto lleva a la conclusión de que siempre existen enteros positivos más pequeños; por lo tanto, la premisa de que  es un cociente de enteros debe ser falsa.

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