domingo, 8 de noviembre de 2015

Teoría de Números en los Siglos XVII

Un documento descubierto en 1879 entre los manuscritos de Huygens da un famoso método, llamado el método del "descenso infinito", que fue introducido y usado por Fermat. Para comprender el método vamos a considerar el teorema enviado por Fermat en una carta a Martín Mersenne (1588-1648) fechada el 25 de diciembre de 1640, en el que enuncia que un primo de la forma 4n+1 puede expresarse de una y sólo una manera como la suma de dos cuadrados. Así 17 = 16+1 y 29 = 25+4. El método llamado de "descenso infinito" procede demostrando que si hay un primo de la forma 4n+1 que no posee dicha propiedad, entonces habrá un primo menor de la forma 4n+1 que no la posea.
Luego, puesto que n es arbitrario, debe haber uno aún menor. Descendiendo a través de todos los valores positivos de n uno debe alcanzar n=1 y así el primo 4 1+1 = 5. Entonces 5 no puede cumplir la propiedad requerida. Pero puesto que 5 se puede expresar como la suma de dos cuadrados y sólo de una manera, así todo primo es de la forma 4n+1. Fermat envío este esquema de su método a su amigo Pierre de Carcavi en 1659. Fermat dice que usó el método para probar el teorema anterior pero su demostración no se encontró nunca. También dice que demostró otros teoremas por este método.
Dado que ningún entero de la forma 4n-1 puede ser suma de dos cuadrados, y todos los primos excepto 2 son de la forma 4n+1 o 4n-1, se pueden clasificar por el teorema de Fermat los números primos que se pueden expresar y los que no se pueden expresar como suma de dos cuadrados. El número primo 23, por ejemplo, no puede expresarse de dicha forma, mientras que el 29 sí puede expresarse como 2$ ²$+5$ ²$. Fermat sabía también que un número primo de cualquiera de los dos tipos se puede expresar siempre como diferencia de dos cuadrados de una y sólo una manera.
El método del "descenso infinito" difiere de la inducción matemática. En primer lugar, el método no requiere que se muestre un caso en el que se cumple el teorema propuesto, porque se puede concluir el argumento por el hecho de que sólo el caso n=1 lleva a una contradicción de algún otro hecho conocido. Además, después de hacer una hipótesis apropiada para un valor de n, el método demuestra que hay  un menor valor de n, pero no necesariamente el siguiente, para el cual la hipótesis es cierta. Finalmente el método refuta ciertas afirmaciones y es de hecho más útil para este propósito.


Example 1.6   Ilustremos este método aplicándolo a la demostración de que $ \sqrt{3}$ no es racional: Supongamos que $ \sqrt{3}=\frac{p_{1}}{q_{1}}$, donde $ p_{1}$ y $ q_{1}$ son enteros positivos, tales que $ p_{1}>q_{1}$. Como $ \frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$, aislemos $ \sqrt{3}$ del numerador y reemplacemos el otro por $ \frac{p_{1}}{q_{1}}$. Se tiene $ \sqrt{3}=\frac{3q_{1}-p_{1}}{p_{1}-q_{1}}$.

Es evidente que $ 3q_{1}-p_{1}$ y $ p_{1}-q_{1}$ son enteros positivos en virtud de la desigualdad $ \frac{3}{2}<\frac{p_{1}}{q_{1}}<2$.
Sean $ p_{2}$ y $ q_{2}$ cada uno, respectivamente, inferior a $ p_{1}$ y $ q_{1}$, y tales que $ \sqrt{3}=\frac{p_{2}}{q_{2}}$. Por iteración, se obtiene un "descenso infinito" en el cual $ p_{n}$ y $ q_{n}$ son enteros todavía más pequeños tales que $ \sqrt{3}=\frac{p_{n}}{q_{n}}$, esto lleva a la conclusión de que siempre existen enteros positivos más pequeños; por lo tanto, la premisa de que $ \sqrt{3}$ es un cociente de enteros debe ser falsa.

Recuperado de: http://www.picasa.org/descargas/matematicas/numeros/node8.html
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La Geometría Analítica del siglo XVII


La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
ANTECEDENTES HISTORICO.
En el siglo XVII con la geometría analítica nace la matemática moderna, en el siglo de Descartes, Galileo, Newton, Leibniz y Fermat. El álgebra y la trigonometría adquieren cierta madurez, condiciones particularmente favorables para la ciencia matemática obtenga una fecundidad maravillosa.
Los resultados de tales condiciones favorables pronto se harán sentir, y en siglo XVII verá en primer lugar una admirable nueva rama de la matemática: la geometría analítica, que produce en esa ciencia verdadera revolución (fue comparada con la revolución industrial).
Mas tarde se vera surgir el análisis infinitesimal en su doble aspecto: como algoritmo del infinito, y como instrumento indispensable para el estudio de los fenómenos naturales.
En el siglo XVII asiste al nacimiento de la teoría de los números, del calculo de la probabilidad y de la geometría proyectiva.
El advenimiento de la geometría analítica esta vinculado con el gran filósofo Rene Descartes (1596-1650).
La geometría analítica se conoce también con le nombre de geometría cartesiana.
En 1637, en Leyden, Descartes publico el discurso DEL MÉTODO obra celebre formada por tres ensayos: La Dióptrica, Los Meteoros y la Geometría.
El concepto de sistema coordenado, que caracteriza a la geometría analítica se encuentra en la obra “geometrie” (1637), tratado de poco mas de cien paginas. Su aportación principal es la unificación de del álgebra con la geometría; su fundamento es la correspondencia entre los números reales y los puntos de una línea.
El primer capitulo del libro primero de los tres que componen la “Geometría” trata sobre como el calculo de la aritmética se relaciona con las operaciones de la geometría.
En el libro primer capitulo del libro primero de los tres que componen la “Geometría” trata sobre como el calculo de la aritmética se relaciona con las operaciones geométricas.
Otro gran matemático fue Fermat (1601-1665) contemporáneo de Descartes, realizo trabajos relacionados con la geometría analítica en el año 1629 y cuya aproximación a la Geometría Analítica es mas exacta a la obra de descartes.
La obra geométrica de Fermat es importante, pues enseña a interpretar ecuaciones con dos variables, considerando rectas, elipse, parábolas e hipérbolas.
Rene Descartes y su famoso “DISCURSO DEL MÉTODO” es un tratado celebre para conducir bien las razón y buscar la verdad en las ciencias.

Recuperado de: http://html.rincondelvago.com/geometria-analitica_7.html
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Logaritmos del Siglo XVII

En análisis matemático, usualmente, el logaritmo de un número real positivo —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.
Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios delsiglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculoy tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por identidades logarítmicas — que el logaritmo de unproducto es la suma de los logaritmos de los factores:
\log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y). \,
La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVIII.

Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
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UNIDAD#4 LAS MATEMÁTICAS DE LOS SIGLOS XVII

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Renacimiento (Álgebra, Trigonometría, Geometría, Astronomía y Mecánica)


Matemática en el Renacimiento from Alejandra Agreman

Recuperado de: http://es.slideshare.net/AlejandraAgreman/matemtica-en-el-renacimiento
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Trigonometría en el renacimiento

Con relación a la trigonometría debe decirse que, aunque los peritos usaban los métodos geométricos romanos, se empezó a usar algo de trigonometría plana con un método iniciado por Leonardo de Pisa en su Practica Geometriae (1 220).
Otros avances fueron hechos por el mismo George Peurbach (1423 - 1461) de Viena, quien ofreció tablas trigonométricas más precisas y corrigió algunas traducciones latinas del Almagesto que habían sido realizadas desde versiones árabes y no griegas.
El más conocido, sin embargo, fue Johannes Müller (1436 - 1476), el famoso Regiomontano, que fue discípulo de Peurbach y del cardenal Bessarion (c. 1400 - 1472). Regiomontano no solo haría varias traducciones de obras griegas sino que también estableció su propia imprenta para imprimirlas. Entre ellas las Secciones Cónicas de Apolonio y partes de Arquímedes y Herón. Se sabe que en su libro De Triangulis, 1462 - 1463, Regiomontano se benefició de algunos trabajos árabes para expresar de una mejor manera el conocimiento disponible sobre trigonometría plana, geometría esférica, y trigonometría esférica.
Un detalle sobre Müller: Nicolás de Cusa (1401 - 1464), quien se supone fue el primer europeo que buscó resolver el problema clásico de la cuadratura del círculo, y un intelectual, incluso cardenal, que tendría importantes repercusiones, fue corregido por Regiomontano (1436 - 1476), quien le señaló algunos problemas o errores de razonamiento.
La construcción de tablas fue otro asunto importante durante los siglos XV y XVI. Por ejemplo, laboraron en eso George Joachim Rheticus (1514 - 1576), Copérnico, François Vieta (1540 - 1603) y Barthdolomaeus Pitiscus (1561 - 1613). En estos trabajos usaron números de unidades muchísimo más largos en el radio, de tal forma que los valores de las cantidades trigonométricas pudieran ser obtenidas con mayor precisión sin usar fracciones o decimales. Rheticus calculó una tabla de senos basado sobre un radio de diez a la diez unidades y otro basado en diez a la 15 unidades y dio valores para cada diez segundos del arco. Pitiscus corrigió algunos de estos trabajos. Se supone, precisamente, que la palabra trigonometría fue dada por él.
Un detalle interesante con Rheticus es que cambió el significado del seno. Antes se usaba como el seno del arco y no del ángulo (en una circunferencia), ahora era el seno del ángulo.


Recuperado: http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte3/Cap11/Parte07_11.htm


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El Álgebra en el Renacimiento

El Álgebra en el Renacimiento

  • Ya se utiliza un simbolismo rudimentario en álgebra, lo símbolos indo-arábigos están suficientemente extendidos, las fracciones decimales se desarrollan poco a poco y la teoría de las ecuaciones ha logrado comprender la solución general de la cúbica y la bicuadrática.
  • Los números negativos se aceptan progresivamente y la trigonometría, considerada ciencia independiente, dispone ya de tablas muy precisas para las seis funciones. En cuanto a la geometría, se desarrollan nuevas orientaciones en geometría descriptiva y proyectiva. Todos estos avances son ampliamente difundidos de forma más normalizada gracias a la imprenta.
  • La aplicación de todos estos conocimientos a campos tan diversos como la cartografía, el arte, la óptica o la contabilidad sirvió para relanzar las matemáticas y darles un impulso de modernidad, con un sentido más crítico de los modelos clásicos, intentando definir otros nuevos que los sustituyeran.
  • A esta etapa de la culminación del Renacimiento y comienzo de las matemáticas modernas contribuyó de forma especial François Viète.
  • El álgebra hasta el siglo XVI era de tipo verbal, en realidad, el álgebra todavía estaba en ese tiempo muy conectada con la geometría. La incógnita de un problema era pensada como la longitud de un segmento de recta; el cuadrado de la incógnita se refería al área de un cuadrado y su cubo, al volumen de un cubo.


     Recuperado: https://historiarenacentista.wordpress.com/2011/11/13/el-algebra-en-el-renacimiento/


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