lunes, 16 de noviembre de 2015

El análisis complejo (o teoría de las funciones de variable compleja) es la rama de las matemáticas que en parte investiga las funciones holomorfas, también llamadas funciones analíticas. Una función es holomorfa en una región abierta del plano complejo si está definida en esta región, toma valores complejos y por último es diferenciable en cada punto de esta región abierta con derivadas continuas.

El que una función compleja sea diferenciable en el sentido complejo tiene consecuencias mucho más fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales. Por ejemplo, toda función holomorfa se puede representar como una serie de potencias en algún disco abierto donde la serie converge a la función. Si la serie de potencias converge en todo el plano complejo se dice que la función es entera. Una definición relacionada con función holomorfa es función analítica: una función compleja sobre los complejos que puede ser representada como una serie de potencias. De modo que toda función holomorfa también cumple la definición de función analítica pero no toda función analítica es holomorfa. En particular, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, un hecho que es marcadamente diferente de lo que ocurre en las funciones reales diferenciables. La mayoría de las funciones elementales como lo son, por ejemplo, algunos polinomios, la función exponencial y las funciones trigonométricas, son holomorfas.

Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_complejo

Rigor en el Analisis

Se entiende por rigor matemático (o también, «precisión matemática», aunque en un contexto algo diferente) una manera lógica y clara de trabajar dentro del ámbito de las matemáticas. Engloba, por una parte, aquel proceder axiomático a partir de definiciones y, por otra, la obligatoriedad de la demostración, un sistema de pasos que usa necesariamente la hipótesis y otros pasos justificados con proposiciones previas dentro de la teoría respectiva. Además, se pretende seguir el método de la deducción sistemática. Como consecuencia de la aplicación del rigor matemático, los teoremas son por principio verdades definitivas y de vigencia general, de modo tal que la matemática puede ser considerada la ciencia exacta. El rigor matemático no constituye un fin en sí mismo, sino un medio necesario para posibilitar progresos perdurables en la matemática. El rigor es también, en el sentido griego, una buena "escuela de pensamiento". Como efecto ulterior, el rigor matemático también arroja por resultado una simplificación de las explicaciones y demostraciones matemáticas.

Cauchy fue un profesor impopular tanto entre los estudiantes como entre sus compañeros de facultad. Sus clases eran muy densas y difíciles de seguir, muchas veces prolongaba la clase más allá de su horario oficial y además realizaba continuas revisiones del temario. Para Cauchy las matemáticas del siglo XVIII eran una disciplina que había perdido el norte. Todo un siglo de innovaciones matemáticas maravillosas que habían sido logradas a costa del rigor. Matemáticos como Euler manejaban series que no eran convergentes y expresiones formales sin sentido que producían conclusiones absurdas. No estaban claros conceptos tan básicos como el de infinito, el de límite, los números imaginarios y muchos más. Cauchy admiraba la formulación axiomática de la geometría realizada por Euclides. El álgebra presentaba un estado similar, pero era considerada por los matemáticos del siglo XVIII como una herramienta, versátil, pero de poca utilidad a la hora de resolver problemas prácticos. Por el contrario, el análisis era muy útil en todo tipo de problemas prácticos, pero carecía de un formulación rigurosa. Cauchy quería que el status de la geometría y del álgebra fuera extendido al análisis. Por ello decidió revisar todo el análisis desde el punto de vista de la geometría y apoyado por el álgebra como herramienta.

Por supuesto, el “Curso de Análisis” de Cauchy, como suele ocurrir con todo trabajo pionero, carece de rigor en muchos aspectos. Por ejemplo, Cauchy asume que todas las funciones continuas son diferenciables. Sin embargo, lo importante del proyecto de reforma del análisis iniciado por Cauchy, que trata de llevar el rigor al análisis de la mano de la geometría y del álgebra, es que inició un camino hacia el rigor cuya culminación fue el motor de gran parte de la matemática de todo el siglo XIX, con la honrosa excepción del genial Henri Poincaré que vio en el rigor un corsé del que había que deshacerse.

El cénit del rigor en las matemáticas llegó en el siglo XX con Nicolas Bourbaki, el nombre colectivo de un grupo de matemáticos franceses que, en los años 1930, se pusieron a revisar todos los fundamentos de las matemáticas con una exigencia absoluta en el rigor tratando de combatir la corriente que había nacido con Poincaré. Matemáticos como Jean Dieudonné, André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, y otros antiguos alumnos de la Escuela Normal Superior de París recogieron el guante de Cauchy e impusieron a toda la matemática el concepto de rigor matemático como definición de la labor del matemático.

Un matemático es una máquina de demostrar teoremas con absoluto rigor. La máxima revolucionaria de Bourbaki es Vive la rigueur!

Recuperado de:http://francis.naukas.com/2013/10/27/cauchy-y-el-rigor-en-el-analisis-matematico/ y https://es.wikipedia.org/wiki/Rigor_matem%C3%A1tico

Matrices

El matemático, físico y astrónomo francés, Joseph Louis Lagrange nació el 25 de enero de 1736 en Turín, ciudad que en aquella época pertenecía al ducado de Saboya.

Las Matemáticas se comenzaron a aplicar a la Física, aparece la teoría de los determinantes y las matrices, de la mano de Benjamin Peirce, Charles Sanders Peirce, Georg Frobenius y Charles Hermite.
MATRICES Y DETERMINANTES:Las matrices y los determinantes son herramientas del ´algebra que facilitan el ordenamiento de datos, asI como su manejo
BENJAMIN PEIRCE:fue un matemático estadounidense que enseñó en la Universidad de Harvard por aproximadamente 50 años. Hizo contribuciones a la mecánica celeste, estadística, teoría de números, álgebra, y la filosofía de la matemática.
CHARLES SANDERS PEIRCE: fue un filósofo, lógico y científico estadounidense. Es considerado el fundador del pragmatismo y el padre de la semiótica moderna.

Durante el siglo XIX la ciencia cambia radicalmente, se crean las ciencias modernas y se ponen las bases para que aparezcan teorías nuevas que revolucionan nuestra visión del mundo. En el campo de las ciencias físicas y exactas todo esto fructifica en la última década del siglo XIX y las primeras del siglo XX.
GEORG FROBENIUS: Matemático alemán reconocido por sus aportes a la teoría de las ecuaciones diferenciales y a la teoría de grupos
MATRICES Y DETERMINANTES:Las matrices y los determinantes son herramientas del ´algebra que facilitan el ordenamiento de datos, asI como su manejo
También aparece el cálculo vectorial de Hermann Grassmann (1844). El álgebra de George Boole (1854), la geometría no euclidea de Karl Friedrich Gauss (1815), Janos Bolyai (1832) y Nicolai Ivanóvich Lobáchevskiy (1830) son fundamentales en Astronomía. En el siglo XIX nace, también, la teoría de conjuntos, sistematizada por Georg Cantor (1886).

Recuperado de: https://prezi.com/chveoiayfamx/matematicas-en-el-siglo-xx/

Álgebra simbólica

Cuando se observa a Mathematica por su capacidad para efectuar cálculo simbólico, se encuentra un amplio y diverso conjunto de procedimientos para trabajar en virtualmente todos los temas de la matemática. Cálculo aritmético exacto, búsqueda de fórmulas cerradas para raíces de ecuaciones polinomiales, diferenciación e integración simbólica, sólo para citar unos pocos aspectos de un punto fuerte de Mathematica.

En el ejemplo expuesto, se observa la habilidad de Mathematica para trabajar con una función f (x) de manera simbólica, al calcular los polinomios de Taylor de grado n, alrededor de a. También se hace notar que, aunque Mathematica aporta muchos métodos, el usuario siempre necesitará hacer adaptaciones o definir nuevos procedimientos, para adecuar la exploración a sus necesidades.

Recuperado de:
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/ContribucionesV3n3002/0Arce/presmath/node3.html

Nacimiento del Álgebra Moderna

El álgebra (del árabe: الجبر al-ŷabr 'reintegración, recomposición') es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética.En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).

Durante la Edad Moderna europea tienen lugar numerosas innovaciones, y se alcanzan resultados que claramente superan los resultados obtenidos por los matemáticos árabes, persas, indios o griegos. Parte de este estímulo viene del estudio de las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado. Las soluciones para ecuaciones polinómicas de segundo grado ya era conocida por los matemáticos babilónicos cuyos resultados se difundieron por todo el mundo antiguo.

El descrubrimiento del procedimiento para encontrar soluciones algebraicas de tercer y cuarto orden se dieron en la Italia del siglo XVI. También es notable que la noción de determinante fue descubierta por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Entre los siglos XVI y XVII se consolidó la noción de número complejo, con lo cual la noción de álgebra empezaba a apartarse de cantidades medibles. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. También Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Adrien-Marie Legendre y numerosos matemáticos del siglo XVIII hicieron avances notables en álgebra.

El álgebra abstracta se desarrolló en el siglo XIX, inicialmente centrada en lo que hoy se conoce como teoría de Galois y en temas de la constructibilidad. Los trabajos de Gauss generalizaron numerosas estructuras algebraicas. La búsqueda de una fundamentación matemática rigurosa y una clasificación de los diferentes tipos de construcciones matemáticas llevó a crear áreas del álgebra abstracta durante el siglo XIX absolutamente independientes de nociones aritméticas o geométricas (algo que no había sucedido con el álgebra de los siglos anteriores).

Recuperado de:https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra

Teoría de Números

En el siglo XIX la teoría de números tuvo una serie de resultados aislados aunque brillantes.
Karl-Friedrich Gauss (1777-1875) nació en Gotinga el 30 de Abril de 1777. En 1798 Gauss, en su tesis de doctorado demostró que

Theorem 3.1 toda ecuación polinómica, p(x)=0 posee al menos una raíz, Cualquiera que sea la naturaleza real o imaginaria de los coeficientes de la ecuación.

Dará más adelante otras tres demostraciones del mismo teorema fundamental del álgebra en trabajos subsiguientes.
Una nueva era comenzó con las "Disquisitiones Arithmeticae" de Gauss, que redactó a los 20 años. Este gran trabajo fue enviado a la Academia Francesa en 1800 y fue rechazado pero Gauss la publicó el mismo. En este libro estandarizaba la notación, sistematizaba y ampliaba la teoría de existencia, y clasificaba los problemas para su estudio y los métodos conocidos e introducía nuevos métodos. En el trabajo de Gauss sobre teoría de números hay tres ideas esenciales:

la teoría de formas como la principal idea en el análisis Diofantino.
la teoría de congruencias,
la introducción de los números algebraicos, y

Este trabajo no sólo comenzó la moderna teoría de números sino que determinó las direcciones de trabajo en el tema hasta el presente. El tratado comprende un prefacio seguido de 7 secciones:

Números congruentes en general.
Congruencias de primer grado.
Residuos de potencia.
Congruencias de segundo grado.
Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado.
Diversas aplicaciones de las nociones estudiadas anteriormente.
Ecuaciones que definen las secciones de un círculo.

Otro gran desarrollo durante el siglo XIX es la teoría analítica de números, que usa el análisis junto al álgebra para tratar problemas que atañen a los enteros. Los líderes en esta innovación fueron Dirichlet y Riemann.

Recuperado de: http://www.picasa.org/descargas/matematicas/numeros/node15.html

Las Matemáticas: "Un Mundo Mágico Por Recorrer"